外观
一体化构建方法
提示
构建方法基于张力结构找形找力一体化设计专利方法
以力密度为未知数的节点力平衡方程
建立结构模型,对结构节点、单元进行标号,构建张力结构关联矩阵
其中:
对每个自由节点,以单元力密度向量
其中:
方程(3)
进一步写为矩阵形式:
其中:
称为平衡矩阵,
提示
现阶段sonew不考虑外荷载
单元预应力功能目标
单元预应力功能目标可表示为单元间力密度的相互关系:
如单元
其预应力比值等于
预应力功能目标写成矩阵形式:
其中:
结构整体预应力水平
实际工程应用中,需要控制结构整体预应力水平,这里取单元力密度平方和为一常数,即:
写为矩阵形式为:
其中:
提示
现阶段sonew只引入了此项预应力水平,且
以节点坐标为未知数的节点力平衡方程
对每个自由节点,以节点坐标
写成矩阵形式:
其中:(15)
可进一步简化为:
其中:
称为力密度矩阵,
节点坐标功能目标
节点坐标功能目标可表示为节点坐标的相互关系,其第
如
如
节点坐标功能目标写成矩阵形式:
其中:
基本方程组集
将式(7)
、(12)
、(14)
、(16)
、(22)
组集,并注意到:
或:
其中:
进一步简化得到找形找力一体化方程:
其中:
方程(27)
将节点坐标、单元力密度两类完全不同的物理量统一到单一方程组,不再区分“形”与“力”,并综合节点坐标功能目标、单元预应力功能目标及结构整体预应力水平,形成形态构建一体化方程。
方程的直接求解
方程(27)
系数矩阵相对结构有限元刚度矩阵有以下特点:
- 行数大于列数。
- 为非对称矩阵。
- 一般情况下非正定。
- 含有未知数,方程
(27)
高度非线性。
由于初始结构并非在每个自由节点处均满足力平衡方程,方程(27)
增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,即 (27)
无解,只能求其近似解。常规做法采用最小二乘法进行迭代求解,其近似解为:
其中:
直接求解存在两个问题:
- 方法对初始值非常敏感,迭代极易发散。
- 一些结构构建结果本身是多值的。例如平面索桁架,上下弦发生翻转后同样满足方程
(27)
。这使得迭代要么极易发散,要么收敛到错误结果。
平面索桁架上下弦翻转
方程的凸优化求解
为避免上述情况发生,必须改变求解策略。sonew将直接求解方程组问题转化为求解方程组误差最小的凸优化问题。同时附加不等式功能目标,进一步提高求解健壮性,并可避免多值问题。
提示
- 不等式约束将构建一道"铜墙铁壁",迭代值很难突破此界限。
- 通过不等式约束,将不需要的多值屏蔽,使可行集为凸集。可行集为凸集的凸函数,是一定有唯一极小值的。
- 简单模型、简单功能目标可不设置不等式约束。
以下简述凸优化方法。
对于非线性方程组:
设:
求解方程(33)
可看作求函数 (33)
有唯一解,
为实现不等式约束:
提示
小于
类型的不等式,可通过两边取负,转化为大于
类型不等式。
采用内点罚函数法,引入罚函数:
附带不等式约束的优化目标函数为:
其中:
迭代产生最小值